.RU

Преобразования Лоренца - Конспект составлен на основе курса лекций, читаемого автором в течение ряда лет для студентов...



^ Преобразования Лоренца


Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′ . K′ движется относительно K со скоростью v по направлению оси x . Будем считать v малой величиной. Тогда справедлива классическая механика. В классической механике считается, что время течёт в обеих системах одинаково, то есть t = t′ . Если в момент t = t′ = 0 начала координат K и K′ совпадают, то получим:


x = x′ + v t′ = x′ + v t

y = y′ z = z′ t = t′

Эти уравнения носят название преобразований Галилея. Из них вытекает закон сложения скоростей в классической механике:

ux = ux′ + v uy = uy′ uz = uz′

Рассмотрим теперь релятивистскую механику. В этом случае преобразования Галилея превращаются в преобразования Лоренца (приводим без вывода):

x = y = y′ z = z′ t =

В этих формулах β = v /c .


Сложение скоростей


Рассмотрим частицу, движущуюся вдоль оси 0x со скоростью u в системе отсчёта K и со скоростью u′ в системе K′ . Тогда:

u = и u′ = .

Из преобразований Лоренца получим:

dx = dt =


Тогда = = . Отсюда получим:


u = . Это и есть закон сложения скоростей релятивистской механики. Из этой формулы следует, что при u′ << c u = u′ + v (закон сложения скоростей классической механики), а при u′ → c получаем u = → с (в соответствии с принципом теории относительности).


^ Релятивистская динамика


Рассмотрим, как изменяется второй закон Ньютона в условиях околосветовых скоростей движения тел. Сначала рассмотрим массу тела, которая в условиях релятивистской теории не является постоянной величиной, а зависит от скорости. Как показал один из последователей Эйнштейна Толмен, формулу, связывающую массу и скорость, можно получить, рассматривая закон сохранения импульса для случая абсолютно упругого соударения двух шаров. Он получил формулу, которую мы приведём без вывода:

m = . Здесь m0 – инвариантная (одинаковая во всех инерционных системах отсчёта) величина, называемая массой покоя тела, а m называется релятивистской массой.


При v << c m ≈ m0 , а при v → c m → ∞ .

Умножая формулу для массы на вектор v, получим релятивистское выражение для импульса тела: p = . И, наконец, релятивистское выражение для 2-го закона Ньютона:

=


Найдём теперь релятивистское выражение для энергии тела. Умножим уравнение для второго закона Ньютона на v dt :

v dt = f v dt (рассмотрим выражение для модулей векторов). Из закона сохранения энергии следует, что работа (dA = f ds = f v dt) , совершаемая над телом, равна приращению его энергии. Тогда:

dE = dA = f v dt = v dt = v dp = v d

Дифференцируем: dE = v m0 =

= = = d . Следовательно:

E = + Const

Обычно полагают Const = 0 . Итак E = m c2 .


В случае, когда v = 0, E0 = m0 c2 (E0 – энергия покоя тела). Для кинетической энергии тела в релятивистской динамике получим: T = E – E0 = – m0 c2 = m0 c2

Если v << c то T ≈ m0 c2 ≈ m0 c2 =

= m0 v2 /2 . То есть мы получили классическое выражение для кинетической энергии тела.


Заметим, что из соотношения E = m c2 вытекает, что энергия и масса тела пропорциональны друг другу. Всякому изменению Δ m соответствует изменение ΔE и наоборот. Это утверждение называется законом взаимосвязи или законом пропорциональности массы и энергии. Мы уже говорили, что этот закон реально работает в атомных электростанциях, где энергия получается за счёт частичного исчезновения массы.

^ ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Все материальные тела взаимно притягиваются. Такие явления, как падение тел на землю, движение луны по орбите вокруг земли, планет вокруг солнца и т.д. происходят под влиянием единых сил – сил всемирного тяготения. Понимание природы этих сил возникло в 17 веке благодаря трудам учёных И. Кеплер, Р. Гук, И.Ньютон. Закон, которому подчиняются эти силы, был сформулирован Ньютоном.




И. Кеплер Р. Гук Г. Кэвендиш


Согласно этому закону всякие два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

f = γ

здесь γ – коэффициент пропорциональности, гравитационная постоянная. Подчеркнём, что ранее считалось, что природа сил притяжения у поверхности земли и сил, вызывающих движение планет различна.

Формула закона тяготения была выведена, исходя из трёх законов движения планет, открытых Кеплером из обобщения наблюдённых движений планет:


1) Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2) Радиус-вектор планеты описывает за равные времена одинаковые площади.

3) Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей их орбит.

Приближённо будем считать орбиты круговыми. Тогда ускорение, с которым движется планета можно написать в виде

w = v2 / r

где v – скорость движения планеты, r – радиус орбиты.

Заменим v через 2πr/ T (Т – период обращения планеты вокруг Солнца). w =

На основании этого выражения отношение сил, действующих на планеты 1 и 2 со стороны Солнца, запишется:

= =

Заменяя в соответствии с третьим законом Кеплера отношение квадратов периодов обращения отношением кубов радиусов орбит, получим: f1 : f2 = :

Таким образом, сила, с которой планета притягивается к Солнцу, пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату её расстояния до Солнца:

f = k m /r2

Предположив, что величина k пропорциональна массе Солнца МС , Ньютон пришёл к уже знакомой нам формуле

f = γ

Заметим, что второй закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса.


Величина гравитационной постоянной γ была впервые определена в опыте Кэвендиша в 1798 году с помощью созданных им крутильных весов, в этом опыте измерялась сила притяжения между двумя шарами (массой M по 158 кг) и двумя подвешенными на крутильных весах свинцовыми шарами (массой m по 729 г).


Современное значение гравитационной постоянной:

γ = 6,67 ∙ 10 – 11

Покажем исходя из закона всемирного тяготения, что у поверхности земли все тела падают с одинаковым ускорением.

Действительно: w = f / m (из второго закона Ньютона). Но с другой стороны f = γ . Следовательно

wЗ = γ = γ = Const = g ( ускорение свободного падения). Итак мы получили связь между величинами g и γ .

^ Зависимость ускорения свободного падения

от географической широты местности


Поскольку Земля вращается вокруг своей оси, то связанная с поверхностью земли система отсчёта является неинерциальной. Нам известно, что в таком случае при рассмотрении движения тел нужно вводить силы инерции с тем, чтобы обеспечить выполнение законов движения Ньютона. Для вращающейся земли нужно ввести центробежную силу инерции fin = m ω2 r




На рисунке f – сила притяжения Землёй, P – вес тела (который и измеряется),

r = RЗ Cos φ ,

(φ – географическая широта).

Угол α можно найти из теоремы синусов:

= ≈ 0,035 Cos φ.

Отсюда Sinα ≈ 0,018 Sin 2φ

Следовательно, на полюсах (φ = 90°) и экваторе (φ = 0) угол α равен нулю.

Из построения ясно, что f – P равно нулю на полюсах и достигает максимума, равному 0,3 % веса тела на экваторе. Кроме того, из-за сплюснутости Земли (опять таки вследствие вращения) f на экваторе на 0,2 % меньше, чем на полюсе. Поэтому g экватор = 9,78 м /сек2, gполюс = 9,83 м /сек2 .


^ Космические скорости


Под космическими скоростями понимают следующие величины:

1-я космическая скорость, это скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы вывести его на круговую орбиту вокруг Земли.

2-я космическая скорость, это скорость, когда тело покидает Землю и выходит за пределы земного тяготения.

3-я космическая скорость, это скорость, когда тело покидает солнечную систему.


Для того, чтобы тело стало спутником Земли, то есть двигалось по круговой околоземной орбите, ему нужно сообщить скорость v1 , значение которой определяется вторым законом Ньютона. Положим радиус орбиты равным радиусу Земли и напишем уравнение mg = m v12 / RЗ . Отсюда следует:

g = v12 / RЗ поэтому


v1 = = 7,9 км /сек. Это и есть первая космическая скорость. Впервые подобная задача была рассмотрена Ньютоном, который представил себе пушку на высокой горе, которая стреляет снарядами параллельно поверхности земли. Начальная скорость снарядов возрастает и наконец снаряд не падает на поверхность земли, а выходит на круговую орбиту.

Именно такой скоростью и обладают искусственные спутники Земли.

Для нахождения величины второй космической скорости нужно найти работу, которую необходимо совершить против сил тяжести на пути тела от поверхности земли до бесконечности. Вычислим работу, совершаемую при перемещении тела вдоль прямой, проходящей через центр Земли.

Работа на элементарном пути dr : dA = f dr = γ dr .

Полная работа A = γ dr = – γ = γ .

Так как g = γ то A = = m g RЗ .

Для того, чтобы совершить эту работу, тело должно обладать достаточным запасом энергии (кинетической энергии), то есть

= m g RЗ . Отсюда получим: v2 = = 11,2 км /сек .

Для нахождения третьей космической скорости нужно провести такие же вычисления для удаления тела, находящегося в поле тяготения Солнца, от орбиты Земли до бесконечности. Получается v3 = 16,7 км /сек .

Основы космонавтики, то есть движения тел с космическими скоростями заложил в начале прошлого века русский учёный К.Э. Циолковский.

Впервые запуски тел с космическими скоростями были осуществлены в СССР. В 1957 г. был запущен искусственный спутник Земли, в 1959 г. – космическая ракета, которая вышла из сферы земного притяжения и стала первой искусственной планетой Солнечной системы, в 1961 г. был осуществлён запуск человека в космическое пространство (первый космонавт Ю.А. Гагарин, конструктор ракетного корабля С. П. Королёв).


^ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ


Гармонические колебания


Колебательные движения широко распространены в природе и технике. Примеры колебательных движений: качание маятника часов, волны на воде, переменный электрический ток, вся современная радиотехника построена на колебательных движениях, звук и свет также являются колебательными движениями. В зависимости от физической природы колебательного движения мы различаем, например, механические колебания, электро-магнитные колебания, электро-механические колебания и так далее.

Мы ограничимся в этой главе рассмотрением только механических колебаний.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, то есть такие колебания, при которых величины меняются со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний важен потому, что реальные колебательные процессы очень близки по форме к гармоническим колебаниям.

В качестве одного из примеров гармонических колебаний рассмотрим движение груза, подвешенного к упругой пружине.

Пусть мы имеем пружину длиной ℓ0. Подвесим к ней груз m, пружина растянется на длину ∆ℓ0. Масса m покоится, значит m g = Fупр. Упругая сила пружины, согласно закону, установленному Гуком, Fупр = k ∆ℓ0, где k - коэффициент пропорциональности. Таким образом: m g = k ∆ℓ0.


Выведем теперь систему из равновесия, растянем пружину ещё на длину x. Тогда результирующая сила, действующая на m, равна f = = m g – k (∆ℓ0 + x) = – k x .

Знак минус указывает на то, что смещение и сила имеют противоположные направления.

Итак f = – k x .

Напишем теперь уравнение для последующего движения груза, то есть уравнение 2-го закона Ньютона:

m w = – k x или m d2 x / d t2 + k x = 0

Перепишем его так: d2 x / d t2 + k / m = 0

Обозначим k / m = ω02 , тогда d2 x / d t2 + ω02 x = 0.

Легко убедиться (подстановкой), что решением этого дифференциального уравнения будет следующая зависимость:

x = a Cos ( ω0 t + α )

где a и α – постоянные.

Итак, мы получили гармоническое колебание.




Величина a - это максимальное отклонение от положения равновесия, называется амплитудой колебания. Величина T называется периодом колебания. Можно легко показать, что ω0 и T связаны формулой ω0 = 2 π / T. Величина ω0 называется круговой или циклической частотой, величина ν = 1 / T – просто частота колебаний, измеряется в герцах, 1 герц = 1 / сек.

Величина ω0 t + α называется фазой колебания, а α – начальной фазой колебания, то есть значение фазы в момент времени t = 0. Таким образом, значение начальной фазы задаётся выбором начала отсчёта. Пусть мы выбрали начало отсчёта такое, что α = 0 тогда x = a Cos ( ω0 t )

Найдём значения скорости и ускорения:

v = dx / dt = – a ω0 Sin ω0 t = a Cos (ω0 t + π / 2 )

w = d2x / dt2 = – a ω02 Cos ω0 t = a ω02 Cos (ω0 t + π )


Значит, скорость опережает смещение на угол π / 2, а ускорение на угол π.



В точках, где х = 0, скорость принимает максимальное значение, а значит и кинетическая энергия принимает максимальное значение. Найдём, как меняется кинетическая энергия со временем:

Ek = m v2 / 2 = ( m a2 ω02 / 2) Sin2 ω0 t

В точках, где скорость равна нулю, максимальна величина х, (х = а), в этих точках максимальная кинетическая энергия полностью переходит в максимальную потенциальную энергию растянутой (или сжатой) пружины. Потенциальная энергия создаётся благодаря тому, что совершается работа А . Величину А найдём по формуле:

A = ( - f ) d x = k x d x = k x2 / 2

Эта работа идёт на создание потенциальной энергии Ep = k x2 / 2

Отсюда Ep изменяется со временем по следующему закону:

Ep = ( k a2 / 2 ) Cos2 ω0 t

Сложим теперь

Ek + Ep = ( m a2 ω02 / 2) Sin2 ω0 t + ( k a2 / 2 ) Cos2 ω0 t =

= ( k a2 / 2 ) ( Cos2 ω0 t + Sin2 ω0 t ) = k a2 / 2


( здесь мы учли, что ω02 = k / m ).

Итак, полная энергия системы в любой момент времени одна и та же, как и должно быть по закону сохранения энергии.

В соответствии с полученными формулами можно нарисовать зависимость Ek и Ep от смещения груза из положения равновесия.

Итак, колебание сопровождается периодическим переходом кинетической энергии в потенциальную и обратно. Мы здесь предполагаем, конечно, что нет потерь энергии, например на трение, и поэтому полная механическая энергия систем сохраняется.


^ Математический маятник

Математический маятник – это маятник, состоящий из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Математическим маятником можно, например, считать небольшой тяжёлый шарик, подвешенный на длинной, тонкой нити (ℓ – длина нити, ℓ это модуль вектора r) .



Отклоним такой маятник на угол φ. При этом возникает вращательный момент М = [r f] , равный по модулю mgℓ Sinφ и направленный таким образом, чтобы вернуть маятник в положение равновесия, то есть уменьшить угол φ.

Момент М и смещение φ имеют разные направления. Поэтому:

M = – mgℓ Sinφ


Уравнение, аналогичное 2-му закону Ньютона, для вращательного движения имеет вид: I β = M ( I – момент инерции, β – угловое ускорение, M – момент силы).

Следовательно: m ℓ2 ∙ d2φ / dt2 = – mgℓ Sinφ

Будем считать, что углы малы, тогда Sin φ ≈ φ ( радиан).

Получаем d2φ / dt2 + g φ / ℓ = 0 . Если обозначить ω02 = g / ℓ , то имеем d2φ / dt2 + ω02 φ = 0, то есть дифференциальное уравнение, решение которого мы уже знаем φ = a Cos ( ω0 t + α )

Таким образом, T = 2 π / ω0 = 2 π . Период колебания маятника не зависит от его массы, а зависит от длины маятника и ускорения свободного падения.


^ Физический маятник

Физическим маятником называется твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции C.

Уравнение движения такого маятника выглядит: I β = M , или

I d2φ / dt2 = – mgℓ Sinφ Если обозначить ω02 = m g ℓ / I то получим точно такое же уравнение, как в случае математического маятника.

Период колебания физического маятника

T = 2 π / ω0 = 2 π


^ Затухающие колебания


До сих пор мы считали, что колебания происходят без трения, поэтому энергия колебаний не изменяется, колебания продолжаются неограниченно долго. В реальных условиях, конечно, всегда нужно учитывать трение, или сопротивление среды. Из опытов известно, что силы сопротивления среды направлены против скорости движущегося тела и пропорциональны скорости тела. То есть

fr = – r v = – r dx / dt

где r – коэффициент пропорциональности.

Запишем уравнение 2-го закона Ньютона для колеблющегося тела с учётом сил сопротивления:

m d2x / dt2 = – k x – r dx / dt

Обозначим, как и раньше ω02 = k / m и введём обозначение

β = r / 2 m , тогда уравнение примет вид:

d2x / dt2 + 2 β dx / dt + ω02 x = 0

Будем решать это уравнение следующим образом: введём новую переменную z , которая определяется так: x = z exp (– β t ) тогда

dx / dt = exp(– β t ) dz / dt – β exp(– β t ) z

d2x / dt2 = exp(– β t ) d2z/ dt2 – 2 β exp(– β t ) dz / dt +β2 exp(– β t ) z


Подставим это в наше уравнение:

exp(– β t )(d2z/dt2 – 2β dz/dt + β2 z ) + exp(– β t ) (2 β dz/dt – 2 β2 z ) + + ω02 z exp(– β t ) = 0 отсюда:

d2z/ dt2 + (ω02 – β2 ) z = 0

Таким образом, для новой переменной z мы получили уравнение гармонического колебания, решение его мы знаем

z = Const Cos ( ω t + α ) где ω =

(мы считаем, что ω02 > β2 ).

Значит, окончательно наше решение для переменной х будет:

x = a0 exp( – β t ) Cos ( ω t + α )

График этой зависимости имеет вид:



Таким образом, при учёте сопротивления среды мы получили затухающие гармонические колебания, амплитуда колебаний уменьшается со временем, а их частота меньше частоты, которая была бы в отсутствие сопротивления среды. Скорость затухания определяется величиной β, которая называется коэффициентом затухания.

Затухающие колебания с течением времени прекращаются и энергия колебательного движения, постепенно уменьшаясь, переходит в тепло. Чтобы сделать реальные колебания системы незатухающими нужно непрерывно подводить к системе добавочную энергию, компенсирующую потери энергии за счёт трения. Например, маятник часов колеблется без затухания за счёт энергии сжатой пружины или подвешенной гири, то есть за счёт изменения потенциальной энергии пружины или гири в поле сил тяжести Земли.

^ Вынужденные колебания


Итак, для получения незатухающих колебаний необходимо пополнять убыль механической энергии колебаний, то есть необходимо воздействие дополнительной переменной внешней силы, которая подталкивает колеблющееся тело то в одну, то в другую сторону. Такая внешняя сила называется вынуждающей силой, а колебания, возникающие под её влиянием, называются вынужденными колебаниями.

Пусть эта сила изменяется со временем по гармоническому закону f = F0 Cos ω t

Тогда уравнение движения запишется следующим образом, если мы учтём все силы, действующие на тело:

m d2x/dt2 = – k x – r dx/dt + F0 Cos ω t или

d2x/dt2 + 2 β dx/dt + ω02 x = f0 Cos ω t

где f0 = F0 / m , β = r / 2 m – коэффициент затухания за счёт сопротивления среды, ω0 = – собственная частота колебаний, то есть частота свободных колебаний в идеализированном случае, когда сил трения нет. Решение этого уравнения приведём без вывода. Графически оно выглядит так:



установление установившиеся

колебаний колебания


В режиме установившихся колебаний решение имеет вид:

x = Cos (ω t – α)

То есть колебания происходят с частотой колебаний вынуждающей силы, но отстают по фазе на определённый угол α , причём

t g α = 2 β ω / (ω02 – ω2)

Амплитуда установившихся колебаний, как мы видим из формулы, зависит от частоты колебаний вынуждающей силы ω .

Рассмотрим подробнее эту зависимость.

Построение по вышеприведенной формуле даёт следующую картину, то есть амплитуда имеет максимум при определённой частоте, так называемой резонансной частоте. Таким образом при ω = ωрез колебания становятся наиболее интенсивными и тем больше, чем меньше сопротивление среды, то есть чем меньше β .

Найдём величину резонансной частоты ωрез. Максимум амплитуды, значит минимум подкоренного выражения в знаменателе. Поэтому производная этого выражения по частоте должна равняться нулю при ω = ωрез.

2 (ω02 – ω2) (– 2 ω) + 8 β2 ω = 0, – ω02 + ω2 + 2 β2 = 0

или ω2 = ω02 – 2 β2 , ω =

Это и есть ωрез, то есть ωрез =

Если сопротивление среды мало ( β мало), то ωрез ≈ ω0 .

Явление резонанса, которое мы рассмотрели, играет большую роль во многих физических процессах.

Пример 1-й, который всегда приводят. Воинская часть переходит через мост, солдаты шагают в ногу. Если окажется, что частота шагов совпадёт с резонансной частотой моста, мост может постепенно раскачаться и развалиться.

Пример 2-й. Маломощный электромотор, если он плохо уравновешен и бьёт, может в случае резонанса разрушить основание, на котором он укреплён.

Пример 3-й. При расчёте корпусов корабля, крыльев самолёта, корпуса автомобиля всегда нужно следить, чтобы частота вращения винта, пропеллера, мотора не совпадала с резонансными частотами этих конструкций.


programma-kursa-upravlenie-proektami.html
programma-kursa-v-1-uzbeksko-yaponskij-centr-razvitiya-lyudskih-resursov-ujc-naviki-effektivnogo.html
programma-kursa-vklyuchaet-sleduyushie-temi-vvedenie-v-problematiku-kursa-politologiya-kak-nauchnaya.html
programma-kursa-vtoroj-inostrannij-yazik-dlya-uchashihsya-8-11-h-klassov-v-shkole-100-s-uglublennim-izucheniem-anglijskogo-yazika-sostavila-stranica-2.html
programma-kursa-vvedenie-v-biologiyu-dlya-studentov-biologo-pochvennogo-fakulteta-spbgu-52-chasa-lekcij.html
programma-kursa-vvedenie-v-filosofiyu-dlya-studentov-mmf.html
  • knigi.bystrickaya.ru/sleduyushij-vopros-146-prednaznachen-dlya-razvivayushihsya-stran-ili-stran-s-perehodnoj-ekonomikoj.html
  • shkola.bystrickaya.ru/monografiya-posvyashena-odnoj-iz-samih-ostrih-nauchno-tehnicheskih-socialno-ekonomicheskih-i-ekologicheskih-problem-probleme-obrasheniya-s-othodami.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-4-zakonomernosti-i-protivorechiya-zakonomernosti-i-protivorechiya-gosudarstvennogo-socializma.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/programma-disciplini-formalnaya-ontologiya-dlya-specialnosti-030100-62-filosofiya-podgotovki-specialista.html
  • reading.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-k-raschetnomu-zadaniyu.html
  • doklad.bystrickaya.ru/vedushaya-anastasiya-dagaeva-aviaforum-faktori-rosta-i-prepyatstviya-dalnejshego-razvitiya-aviabiznesa-v-rossii.html
  • abstract.bystrickaya.ru/2-prefiksalnoe-slovoobrazovanie-glagolov-pravila-slitnogo-napisaniya-slov-pravila-sandhi.html
  • klass.bystrickaya.ru/audit-realizacii-gotovoj-produkcii-4.html
  • letter.bystrickaya.ru/metodika-vipolneniya-raboti-vvedenie-v-bazi-dannih-i-microsoft-access-baza-dannih-bd.html
  • grade.bystrickaya.ru/modul-7-l-n-tolstoj-1828-1910-voprosi-i-zadaniya.html
  • tasks.bystrickaya.ru/-izmeryaem-s-pomoshyu-standartnih-edinic.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-11-kniga-pervaya.html
  • essay.bystrickaya.ru/boevie-dnitehnicheskogo-sostava-boevoj-put-gvardejskogo-krasnoznamennogo-orshanskogo-ordena-suvorova-iii-j-stepeni.html
  • books.bystrickaya.ru/cifrovizaciya-strani-d-a-medvedev-rossiya-ne-sojdet-s-puti-reform-statya-v-gazete-financial-times-ot-20-yanvarya-2004-goda-16.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zamanaui-talabina-saj-tehnologiyalardi-timd-pajdalanui.html
  • knigi.bystrickaya.ru/sabati-tairibi-tr-orindalu-merzm-zhauapti-orindaushi.html
  • student.bystrickaya.ru/14-faktori-vliyayushie-na-prinyatie-resheniya-o-pokupke-povedenie-potrebitelej-shpargalka.html
  • report.bystrickaya.ru/ii-osnovnie-zadachi-territorialnogo-organa-obshie-polozheniya.html
  • desk.bystrickaya.ru/otkritoe.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/kurs-lekcij-moskva-2009-soderzhanie-vvedenie-tema-1-teoreticheskie-podhodi-k-ponimaniyu-tolerantnosti-tema-2.html
  • shkola.bystrickaya.ru/uchet-zatrat-i-kalkulirovanie-sebestoimosti-produkcii-vspomogatelnih-proizvodstv-organizacii-pishevoj-promishlennosti.html
  • student.bystrickaya.ru/3-kratkaya-harakteristika-operativnih-zadanij-stranica-4.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/lekciya-12-himiko-termicheskaya-obrabotka-stali.html
  • grade.bystrickaya.ru/obrazovatelnaya-programma-povisheniya-kvalifikacii-v-sfere-zdorovogo-pitaniya-zaveduyushih-proizvodstvom-shkolnih-stolovih-novoe-oborudovanie.html
  • crib.bystrickaya.ru/individualnoe-zadanie-6-ryadi-dinamiki-uchebno-metodicheskij-kompleks-uchebnoj-disciplini-statistika-nazvanie-disciplini-.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/uchebnoe-posobie-taganrog-2000-bbk-63-3ya73-p-501-stranica-14.html
  • esse.bystrickaya.ru/referat-po-discipline-kommercheskaya-logistika-sistema-hraneniya-gruzov-tema-logistika-sistema-hraneniya-gruzov.html
  • tasks.bystrickaya.ru/14-svedeniya-ob-ocenshike-ocenshikah-emitenta-677000-rossiya-respublika-saha-yakutiya-g-yakutsk-ul-fedora.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/prikaz-4-ot-07-04-2011g-prinyata-na-ped-sovete-protokol-4-ot-08-04-2011g-stranica-3.html
  • tests.bystrickaya.ru/konkurs-provoditsya-na-osnove-znanij-i-navikov-poluchennih-uchashimisya-na-urokah-professionalno-trudovogo-obucheniya-konkurs-provoditsya-po-dvum-napravleniyam-trudovogo-obucheniya.html
  • turn.bystrickaya.ru/oksana-rozhkova-esli-chelovek-hochet-chto-to-sdelat-emu-nado-eto-sdelat-rossijskaya-blagotvoritelnost-v-zerkale-smi.html
  • report.bystrickaya.ru/issledovanie-i-razrabotka-metodov-avtomatizacii-upravleniya-elektronnim-predpriyatiem.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-ii-pribori-kontroliruyushie-rabotu-dvigatelya-i-vspomogatelnie-pribori-i-pilotazhno-navigacionnie-pribori.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/glava-71-ili-zhevat-ili-obshatsya-lejl-laundes-kak-govorit-s-kem-ugodno-i-o-chem-ugodno-naviki-uspeshnogo-obsheniya.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/s-n-muraveva-polozheni-e.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.